[index-ja] Algebra::MatrixAlgebra / Algebra::Vector / Algebra::Covector / Algebra::SquareMatrix / Algebra::GaussianElimination
(行列クラス)
行列を表現します。実際のクラスを生成するには基底環とサイズを指定して、 クラスメソッド ::create あるいは関数 Algebra::MatrixAlgebra() を用います。
サブクラスとして Algebra::Vector(縦ベクトル), Algebra::Covector(横ベクトル), Algebra::SquareMatrix(正方行列) を持ちます。
Algebra.MatrixAlgebra(ring, m, n)::create(ring, m, n)と同じです。
::create(ring, m, n)環 ring を要素とする, (m, n) 型の行列を
表現するクラスを生成します。
このメソッドの戻り値は Algebra::MatrixAlgebra クラスのサブクラス
です。このサブクラスにはクラスメソッドとして ground と
rsize, csize, sizes が定義され、それぞれ、
基底となる環 ring、行のサイズ m、列のサイズ n、
それらの配列 [m, n] を返します。
::new(array)array を配列の配列とするとき、それを要素とする行列を返します。
例:
M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3) a = M.new([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) a.display #=> [1, 2, 3] #=> [4, 5, 6]
::matrix{|i, j| ... }i と j に行と列のインデックスを与え ... を評価した値を
(i, j) 成分にした行列を返します。
例:
M = Alebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.matrix{|i, j| 10*(i + 1) + j + 1}
a.display
#=> [11, 12, 13]
#=> [21, 22, 23]
::[array1, array2, ..., arrayr]配列 array1, array2, ..., arrayr をそれぞれ行とする配列を返します。
例:
M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3) a = M[[1, 2, 3], [4, 5, 6]] a.display #=> [1, 2, 3] #=> [4, 5, 6]
::collect_ij{|i, j| ... }::matrix によく似ていますが、 返り値は Algebra::MatrixAlgebra でなく、2重配列(Array の Array)です。
::collect_row{|i| ... }第 i 行に ... を評価して得た配列を並べた行列を返します。
例:
M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
A = M.collect_row{|i| [i*10 + 11, i*10 + 12, i*10 + 13]}
A.display
#=> [11, 12, 13]
#=> [21, 22, 23]
::collect_column{|j| ... }第 j 列に ... を評価して得た配列を並べた行列を返します。
例:
M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
A = M.collect_column{|j| [11 + j, 21 + j]}
A.display
#=> [11, 12, 13]
#=> [21, 22, 23]
::*(otype)2つの行列の型を掛けた新しいクラスを返します。
例:
M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3) N = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 3, 4) L = M * N p L.sizes #=> [3, 4]
::vectorrsize と同じサイズの縦ベクトル(Vector)クラスを返します。
::covectorcsize と同じサイズの横ベクトル(CoVector)クラスを返します。
::transpose転置を行った新しい行列クラスを返します。
::zero零行列を返します。
[i, j](i, j) 成分を返します。
[i, j] = x(i, j) 成分を x にします。
rsize行サイズを返します。::rsize と同じです。
csize列サイズを返します。::csize と同じです。
sizesrows各行を要素とする配列を返します。
例:
M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.new([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
p a.rows #=> [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
p a.row(1) #=> [4, 5, 6]
a.set_row(1, [40, 50, 60])
a.display #=> [1, 2, 3]
#=> [40, 50, 60]
row(i)i 行目を配列として返します。
set_row(i, array)i 行目を配列 array に入れ換えます。
columns各列を要素とする配列を返します。
例:
M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.new([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
p a.columns #=> [[1, 4], [2, 5], [3, 6]]
p a.column(1) #=> [2, 5]
a.set_column(1, [20, 50])
a.display #=> [1, 20, 3]
#=> [4, 50, 6]
column(j)j 列目を配列として返します。
set_column(j, array)j 列目を配列 array に入れ換えます。
each{|row| ...}各行を配列にして row に入れるイテレータです。
each_index{|i, j| ...}各添え字 (i, j) に関するイテレータです。
each_i{|i| ...}各行の添え字 i に関するイテレータです。
each_j{|j| ...}各列の添え字 j に関するイテレータです。
each_row{|r| ... }各行を配列にして r に入れるイテレータです。 each と同じです。
each_column{|c| ... }各列を配列にして c に入れるイテレータです。
matrix{|i, j| ... }::matrix と同じです。
collect_ij{|i, j| ... }::collect_ij と同じです。
collect_row{|i| ... }::collect_row と同じです。
collect_column{|j| ... }::collect_column と同じです。
==(other)等しいとき真を返します。
+(other)和を計算します。
-(other)差を計算します。
*(other)積を計算します。
例:
M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
N = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 3, 4)
L = M * N
a = M[[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
b = N[[-3, -2, -1, 0], [1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8]]
c = a * b
p c.type #=> L
c.display #=> [14, 20, 26, 32]
#=> [23, 38, 53, 68]
**(n)n 乗を計算します。
/(other)商を計算します。
dsum(other)直和を返します。
例:
a = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)[
[1, 2, 3],
[4, 5, 6]
]
b = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 3, 2)[
[-1, -2],
[-3, -4],
[-5, -6]
]
(a.dsum b).display #=> 1, 2, 3, 0, 0
#=> 4, 5, 6, 0, 0
#=> 0, 0, 0, -1, -2
#=> 0, 0, 0, -3, -4
#=> 0, 0, 0, -5, -6
convert_to(ring)self の各成分を行列環 ring にコンバートします。
Example:
require "matrix-algebra" require "residue-class-ring" Z3 = Algebra.ResidueClassRing(Integer, 3) a = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)[ [1, 2, 3], [4, 5, 6] ]
a.convert_to(Algebra.MatrixAlgebra(Z3, 2, 3)).display
#=> 1, 2, 0
#=> 1, 2, 0
diag対角成分を配列で返します。
transpose転置行列を返します。
例:
M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.new([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
Mt = M.transpose
b = a.transpose
p b.type #=> Mt
b.display #=> [1, 4]
#=> [2, 5]
#=> [3, 6]
dup複製します。
例:
M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.new([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
b = a.dup
b[1, 1] = 50
a.display #=> [1, 2, 3]
#=> [4, 5, 6]
b.display #=> [1, 2, 3]
#=> [4, 50, 6]
display([out])行列を out に表示します。out が省略されると $stdout に表示します。
(縦ベクトルクラス)
ベクトルのクラスです。
なし
Algebra.Vector(ring, n)Algebra::Vector::create(ring, n) と同じです。
Algebra::Vector::create(ring, n)環 ring を要素とする, n 次元のベクトル(縦ベクトル) 表現するクラスを生成します。
このメソッドの戻り値は Algebra::Vector クラスのサブクラス です。このサブクラスにはクラスメソッドとして ground と size が定義され、それぞれ、基底となる環 ring、 サイズ n を返します。
実際にベクトルを作るにはクラスメソッド new, matrix, [] を使います。
Algebra::Vector は n 行 1 列の Algebra::MatrixAlgebra と同一視されます。
Algebra::Vector::new(array)array を配列とするとき、それを要素とす る縦ベクトルを返します。
例:
V = Algebra.Vector(Integer, 3) a = V.new([1, 2, 3]) a.display #=> [1] #=> [2] #=> [3]
Algebra::Vector::vector{|i| ... }第 i 成分を ... にしたベクトルを返します。
例:
V = Algebra.Vector(Integer, 3)
a = V.vector{|j| j + 1}
a.display
#=> [1]
#=> [2]
#=> [3]
Algebra::Vector::matrix{|i, j| ... }第 i 成分を ... にしたベクトルを返します。 j には常に 0 が代入されます。
size次元を返します。
to_a各成分を配列にして返します。
transpose横ベクトル Algebra::Covector に転置します。
(横ベクトルクラス)
ベクトルのクラスです。
なし
Algebra.Covector(ring, n)Algebra::Covector::create (ring n)と同じです。
Algebra::Covector::create(ring, n)環 ring を要素とする, n 次元のベクトル(横ベクトル) 表現するクラスを生成します。
このメソッドの戻り値は Algebra::Covector クラスのサブクラス です。このサブクラスにはクラスメソッドとして ground と size が定義され、それぞれ、基底となる環 ring、 サイズ n を返します。
実際にベクトルを作るにはクラスメソッド new, matrix, [] を使います。
Algebra::Covector は 1 行 n 列の Algebra::MatrixAlgebra と 同一視されます。
Algebra::Covector::new(array)array を配列とするとき、それを要素とす る横ベクトルを返します。
例:
V = Algebra.Covector(Integer, 3) a = V.new([1, 2, 3]) a.display #=> [1, 2, 3]
Algebra::Covector::covector{|j| ... }第 j 成分を ... にしたベクトルを返します。
例:
V = Algebra.Covector(Integer, 3)
a = V.covector{|j| j + 1}
a.display
#=> [1, 2, 3]
Algebra::Covector::matrix{|i, j| ... }第 j 成分を ... にしたベクトルを返します。i には常に 0 が代入されます。
size次元を返します。
to_a各成分を配列にして返します。
transpose横ベクトル Algebra::Vector に転置します。
(正方行列環クラス)
正方行列の作る環を表現するクラスです。
なし
Algebra.SquareMatrix(ring, size)Algebra::SquareMatrix::create(ring, n) と同じです。
Algebra::SquareMatrix::create(ring, n)正方行列表現するクラスを生成します。
このメソッドの戻り値は Algebra::SquareMatrix クラスのサブクラス です。このサブクラスにはクラスメソッドとして ground と size が定義され、それぞれ、基底となる環 ring、 サイズ n を返します。
SquareMatrix は n 行 n 列の Algebra::MatrixAlgebra と同一視されます。
実際に行列を作るにはクラスメソッド new, matrix, [] を使います。
Algebra::SquareMatrix::unity単位行列を返します。
Algebra::SquareMatrix::zero零行列を返します。
Algebra::SquareMatrix.const(x)成分が x のスカラー行列を返します。
sizeサイズを返します。
const(x)成分が x のスカラー行列を返します。
determinant行列式を返します。
char_polynomial(ring)ring に多項式環を与えると、特性多項式を返します。
(ガウスの消去法モジュール)
ガウスの掃き出し法を実現するモジュールです。
gaussian-elimination.rb
なし
なし
swap_r!(i, j)i 行と j 行を入れ換えます。
swap_r(i, j)i 行と j 行を入れ換えたものを返します。
swap_c!(i, j)i 列と j 列を入れ換えます。
swap_c(i, j)i 列と j 列を入れ換えたものを返します。
multiply_r!(i, c)i 行目を c 倍します。
multiply_r(i, c)i 行目を c 倍したものを返します。
multiply_c!(j, c)j 列目を c 倍します。
multiply_c(j, c)j 列目を c 倍したものを返します。
divide_r!(i, c)i 行目を c で割ります。
divide_r(i, c)i 行目を c 割ったものを返します。
divide_c!(j, c)j 列目を c で割ります。
divide_c(j, c)j 列目を c 割ったものを返します。
mix_r!(i, j, c)i 行目に j 行目の c 倍を足します。
mix_r(i, j, c)i 行目に j 行目の c 倍を足したものを返します。
mix_c!(i, j, c)i 列目に j 列目の c 倍を足します。
mix_c(i, j, c)i 列目に j 列目の c 倍を足したものを返します。
left_eliminate!左からの基本変形で階段行列に変形します。
戻り値は、変形するのに使った正方行列の積と、その正方行列の 行列式です。
例:
require "matrix-algebra"
require "mathn"
class Rational < Numeric
def inspect; to_s; end
end
M = Algebra.MatrixAlgebra(Rational, 4, 3)
a = M.matrix{|i, j| i*10 + j}
b = a.dup
c, d = b.left_eliminate!
b.display #=> [1, 0, -1]
#=> [0, 1, 2]
#=> [0, 0, 0]
#=> [0, 0, 0]
c.display #=> [-11/10, 1/10, 0, 0]
#=> [1, 0, 0, 0]
#=> [1, -2, 1, 0]
#=> [2, -3, 0, 1]
p c*a == b#=> true
p d #=> 1/10
left_inverse左からの基本変形による一般逆行列です。
left_sweep左からの基本変形で階段行列にして返します。
step_matrix?階段行列であるとき、軸(pivot)の配列を返します。そうでないとき、nil を返します。
kernel_basis右から掛けて零になるベクトルの空間の基底の配列を返します。 各基底は Algebra::Vector の要素です。
例:
require "matrix-algebra"
require "mathn"
M = Algebra.MatrixAlgebra(Rational, 5, 4)
a = M.matrix{|i, j| i + j}
a.display #=>
#[0, 1, 2, 3]
#[1, 2, 3, 4]
#[2, 3, 4, 5]
#[3, 4, 5, 6]
#[4, 5, 6, 7]
a.kernel_basis.each do |v|
puts "a * #{v} = #{a * v}"
#=> a * [1, -2, 1, 0] = [0, 0, 0, 0, 0]
#=> a * [2, -3, 0, 1] = [0, 0, 0, 0, 0]
end
determinant_by_elimination体上の正方行列の行列式を掃き出し法で求めます。